[Algorithm/Python] 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘 정리

다익스트라 최단 경로 알고리즘

그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘.

음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작.

기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. => 매번 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리를 갱신하기 때문!

 

알고리즘 원리 과정

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.(무한으로)
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

 

각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리를 1차원 리스트(최단 거리 테이블)에 계속 갱신한다는 특징이 있다.

 

힙 자료구조의 우선순위 큐(PriorityQueue | heapq)를 사용하기!(시간 복잡도를 줄이기 위함)

근데 heapq가 더 빠르므로 heapq를 사용하자.

 

우선 순위 큐는 최소 힙과 최대 힙을 이용한다.

최소 힙(Min Heap) -> 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제

최대 힙(Max Heap) -> 값이 큰 데이터가 먼저 삭제

이미지 출처: 이것이 코딩테스트다 with python

 

우선순위 큐는 리스트로도 구현할 수가 있는데 데이터 개수가 N일 때. 리스트일 때는 삭제할 때 모든 원소를 확인해서 우선순위가 가장 높은 것을 찾아야 하므로 최악일 때 O(N)의 시간이 소요된다.

 

힙 자료구조는 N개의 데이터를 삽입할 때 O(logN)의 연산을 N번 반복하므로 O(NlogN)이고 삭제할 때도 똑같다. 그러므로 전체 시간 복잡도는 O(NlogN)이 된다.

 

heapq를 이용한 알고리즘 구현 코드

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline()
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
	a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))
    
def dijkstra(start):
	q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
    	# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
        	continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
        	cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
            	distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
                
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
	# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
    	print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
    	print(distance[i])